問題

解答
y = (1/2)x^2
y ‘ = x
よって点Pにおける接線の傾きは p
p = 5 =tanα
直線mの傾きは、q = 1より
{ (1/2)*5^2 - (1/2)*1^2 } / (5 - 1) = 3
よってtanβ = 3
図より、
θ +β = α
θ = α - β
tanθ = tan(α - β)
= (tanα - tanβ)/(1 + tanα*tanβ)
=(5 - 3) / (1 + 5*3)
tanθ =1/8
また、
tanα = p
tanβ = {(1/2)*p^2 - (1/2)*q^2} / (p - q)
= (p +q) / 2
tanθ = tan(α - β)
= {p - {(p +q) / 2}} / {1 + p* {(p +q)/2}
=(p - q) / (p^2 + pq + 2)
p^2 + pq + 2 ≠ 0 (∵ 分母 ≠ 0 ) ー①
tanθ= 1/7 だから
1/7 = (p - q) / (p^2 + pq + 2)
(p^2 + pq + 2) = 7*(p - q)
p^2 + pq - 7q + 7p = -2
(p +7 )(p + q - 14) = -2 - 98
(p +7 )(p + q - 14) = -100
p、q 整数より p + 7 、p + q - 14 も整数
p > 0 より、 p + 7 > 7
p + q が偶数より、 p + q - 14 も偶数
以上より、p + 7 と p + q - 14の組は、
p + 7 |
10 |
25 |
50 |
p + q - 14 |
-10 |
-4 |
-2 |
に絞られる
よって求めるp、q の組(p, q)は
(3, 1) (18, -8) (43, - 31) (これらは①を満たす)
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