2014年獨協医科大学医学部・数学第一問(2)

問題

解答

y = (1/2)x^2

y ‘ = x

よって点Pにおける接線の傾きは p

p = 5 =tanα

 

直線mの傾きは、q = 1より

{ (1/2)*5^2 - (1/2)*1^2 } / (5 - 1) = 3

よってtanβ = 3

 

図より、

θ +β = α

θ = α - β

 

tanθ = tan(α - β)

         = (tanα - tanβ)/(1 + tanα*tanβ)

         =(5 - 3) / (1 + 5*3)

 tanθ =1/8

 

 

また、

tanα =  p

tanβ = {(1/2)*p^2 - (1/2)*q^2} / (p - q)

         = (p +q) / 2

 

tanθ = tan(α - β)

         = {p - {(p +q) / 2}} / {1 + p* {(p +q)/2}

         =(p - q) / (p^2 + pq + 2)

 

p^2 + pq + 2 ≠ 0 (∵ 分母 ≠ 0 ) ー①

 

tanθ= 1/7 だから

1/7 = (p - q) / (p^2 + pq + 2)

(p^2 + pq + 2) = 7*(p - q)

p^2 + pq - 7q + 7p = -2

(p +7 )(p + q - 14) = -2 - 98

(p +7 )(p + q - 14) = -100 

 

p、q 整数より p + 7 、p + q - 14 も整数

p > 0 より、 p + 7 > 7

p + q が偶数より、 p + q - 14 も偶数

 

以上より、p + 7 と p + q - 14の組は、

 

p + 7

10

25

50

p + q - 14

-10

-4

-2

 

に絞られる

 

よって求めるp、q の組(p, q)は

(3, 1) (18, -8) (43, - 31)  (これらは①を満たす)

三角関数と整数の問題。直線の傾きはtan、整数問題は積の形へ。基本問題です。