2014年獨協医科大学医学部・数学第一問(1)

問題

解答

a > 0

 

①について、真数条件は

x > -2a かつx > -3a かつ10ax > 0

共通部分をとって

x > 0 ー③

 

②について、真数条件は

x > 4/3 かつx > -2/3 かつ x > 5/6

共通部分をとって

x > 4/3 ー④

 

①は

log3(x + 2a)(x + 3a) < log310ax

x^2 ー 5ax + 6a^2 < 0

(x - 2a )(x - 3a) < 0

∴ 2a < x < 3a

③との共通部分をとって

2a < x < 3a ー⑤

 

②は

log3(3x - 4)(3x + 2) <2* log3(6x - 5)/log33^2  + log33

(3x - 4)(3x +2) < (6x -5)*3

9x^2 - 6x - 8 < 18x - 15

9x^2 - 24x + 7 < 0

(3x - 1)(3x - 7) < 0

∴ 1/3 < x < 7/3

④との共通部分をとって

4/3 < x < 7/3 ー⑥

 

①と②をともに満たす実数xが存在するとき、⑤、⑥より

2a < 7/3 かつ 3a > 4/3

よってaのとり得る値の範囲は

4/9 < a < 7/6

対数の問題。基本問題です。