2000年筑波大・前期・数学第五問

問題

解答

(1)

円 C : (x+3)^2 + y^2 = 4 とする

円C に外接する円をDとし、その半径をrとする

 

円Cと円Dは外接するから、

{Xー(ー3)}^2 + (Yー0)^2 = (r + 2)^2

展開して整理すると

X^2 +  6X + Y^2 + 9=(r + 2)^2 ー①

 

また、円Dは点(3,0)を通るから、

(X-3)^2 + Y^2 = r^2

展開して整理すると

X^2ー6X + Y^2 + 9=r^2 ー②

 

①ー②より

12X = 4r + 4

∴ r=3Xー1 ー③

 

r > 0より

3Xー1 > 0

∴ X > 1/3 ー④

 

③を②に代入して

X^2ー6X + Y^2 + 9= (3Xー1)^2

展開して整理すると

8X^2ーY^2 = 8

∴ X^2-ー(Y^2)/8 = 1

 

よって求める軌跡は、

双曲線 x^2ー(y^2)/8 = 1 (X > 1/3) (∵ ④)  

である

(2)

x^2ー(y^2)/8 = 1 (X > 1/3)上の点(X, Y)と(0, a)との距離の2乗 d^2は

d^2 = X^2 + (Yーa)^2

ここで、X^2 = 1 + (y^2)/8 を代入して

d^2 = 1 + (y^2)/8 + (Yーa)^2

      = (8/9)*Y^2ー2aY + 1 + a^2 

      =(8/9)* {Yー(8/9)*a^2} + a^2/9 + 1

よって

最小値 {a^2/9 + 1}^(1/2) (Y = 8/9 のとき)

軌跡と二次関数の最大・最小の問題。標準的な問題。

双曲線が出てきますが、この解き方では二次曲線の知識はなしでいけます。次に別解として、二次曲線の知識を利用した解き方を紹介します。