問題

解答
(1)
円 C : (x+3)^2 + y^2 = 4 とする
円C に外接する円をDとし、その半径をrとする
円Cと円Dは外接するから、
{Xー(ー3)}^2 + (Yー0)^2 = (r + 2)^2
展開して整理すると
X^2 + 6X + Y^2 + 9=(r + 2)^2 ー①
また、円Dは点(3,0)を通るから、
(X-3)^2 + Y^2 = r^2
展開して整理すると
X^2ー6X + Y^2 + 9=r^2 ー②
①ー②より
12X = 4r + 4
∴ r=3Xー1 ー③
r > 0より
3Xー1 > 0
∴ X > 1/3 ー④
③を②に代入して
X^2ー6X + Y^2 + 9= (3Xー1)^2
展開して整理すると
8X^2ーY^2 = 8
∴ X^2-ー(Y^2)/8 = 1
よって求める軌跡は、
双曲線 x^2ー(y^2)/8 = 1 (X > 1/3) (∵ ④)
である
(2)
x^2ー(y^2)/8 = 1 (X > 1/3)上の点(X, Y)と(0, a)との距離の2乗 d^2は
d^2 = X^2 + (Yーa)^2
ここで、X^2 = 1 + (y^2)/8 を代入して
d^2 = 1 + (y^2)/8 + (Yーa)^2
= (8/9)*Y^2ー2aY + 1 + a^2
=(8/9)* {Yー(8/9)*a^2} + a^2/9 + 1
よって
最小値 {a^2/9 + 1}^(1/2) (Y = 8/9 のとき)
双曲線が出てきますが、この解き方では二次曲線の知識はなしでいけます。次に別解として、二次曲線の知識を利用した解き方を紹介します。
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