2008年筑波大・前期・数学第四問

問題

解答

(1)

(an+1)^2 ー 5*(bn+1)^2 

= {(1/2)*(3an + 5bn)}^2 ー 5*{(1/2)*(an + 3bn)}^2

=(1/4)*{4(an)^2 ー 20(bn)^2}

=(an)^2 ー 5(bn)^2

したがって、

=(an-1)^2 ー 5(bn-1)^2 

=(an-2)^2 ー 5(bn-2)^2

 ・

 ・

 ・

 = (a1)^2 ー 5(b1)^2 

 

よってすべての自然数nについて、

(an)^2 ー 5(bn)^2 = (a1)^2 ー 5(b1)^2

                          =3^2 ー 5*1^2

                          =4 

(2)

「すべての自然数nについて、an、bnは自然数かつan + bn は偶数である」ー①

 

①を数学的帰納法で示す

 

(ⅰ)n = 1 のとき

a1 = 3、b1 = 1

a1 + b1 = 4 

よって①は成り立つ

 

(ⅱ)n = k のとき、①が成り立つ、つまり、

ak、bk は自然数

ak + bk は偶数より、ak + bk = 2m (mは自然数)

と仮定する

 

このとき、

ak+1 = (1/2)*(3ak + 5bk)

        =(1/2)*{3(ak + bk) + 2bk}

        =(1/2)*{3*2m + 2bk}

       =3m + bk

よって、ak+1 は自然数(∵bk、mは自然数) 

 

bk+1 = (1/2)*(ak + 3bk)

         =(1/2)*{(ak + bk) + 2bk}

         =(1/2)*(2m + 2bk)

         =m + bk

よって、bk+1 は自然数(∵bk、mは自然数)

 

また、

ak+1 + bk+1 = 3m + bk +m + bk

                    =4m + 2bk

                    =2*(2m + bk)

        =(偶数)

 

以上より、n = k+1 のときも①は成り立つ

 

(ⅰ)、(ⅱ)より、すべての自然数で①は成り立つ

数列、数学的帰納法の問題。「すべての自然数n」ときたら、数学的帰納法を考えましょう。