2019年筑波大・前期・数学第二問

問題

解答

(1)

a, b, c, x, y, z, M は正の実数

(x/a)≦M   (y/b)≦M   (z/c)≦M より、

x≦aM   

y≦bM   

z≦cM

これらの辺々加えて、

x + y + z ≦ aM + bM + cM = (a + b + c)M

∴  (x + y + z)/(a + b +c) ≦ M (∵ a + b +c ≠ 0)

(2)

log2 5=log5 5/log5 2=1/log5 2

log35=log55 / log53 = 1/ log53

 

底5 >1 より

log5 2 < log53

1/ log5 2 > 1/ log53

∴ log2 5 > log35

(3)

(まず左側の不等式の証明)

 

(2)より、

log2 5 > log35 (> 1)

よって、

(log2 5)^n > (log35)^n

したがって、

1 + log2 5 + (log2 5)^n > 1 + log35 + (log35)^n

∴  1 <  {1 + log2 5 + (log2 5)^n}/ {1 + log35 + (log35)^n}  ー①

 

(続いて右側の不等式の証明)

 

(0 < ) 1/ 1 = 1 < 2^n ー②

 

(0 < ) log2 5 / log35 = (log2 5/log22) / (log25 /log2 3)

                     = log2 3 < log2 4 = 2 < 2^n  ー③

 

(0<) (log2 5)^n / (log35)^n = (log2 5 / log35)^n < 2^n ー④

 

②、③、④と(1)の結果より、

{1 + log2 5 + (log2 5)^n}/ {1 + log35 + (log35)^n} < 2^n  ー⑤

 

 

①、⑤より、

1 <  {1 + log2 5 + (log2 5)^n}/ {1 + log35 + (log35)^n} < 2^n 

対数、不等式の証明の問題。(3)は(1)(2)の結果を、とくに(1)の結果を、無理やり当てはめようとして解きました。