問題

解答
(1)
a, b, c, x, y, z, M は正の実数
(x/a)≦M (y/b)≦M (z/c)≦M より、
x≦aM
y≦bM
z≦cM
これらの辺々加えて、
x + y + z ≦ aM + bM + cM = (a + b + c)M
∴ (x + y + z)/(a + b +c) ≦ M (∵ a + b +c ≠ 0)
(2)
log2 5=log5 5/log5 2=1/log5 2
log35=log55 / log53 = 1/ log53
底5 >1 より
log5 2 < log53
1/ log5 2 > 1/ log53
∴ log2 5 > log35
(3)
(まず左側の不等式の証明)
(2)より、
log2 5 > log35 (> 1)
よって、
(log2 5)^n > (log35)^n
したがって、
1 + log2 5 + (log2 5)^n > 1 + log35 + (log35)^n
∴ 1 < {1 + log2 5 + (log2 5)^n}/ {1 + log35 + (log35)^n} ー①
(続いて右側の不等式の証明)
(0 < ) 1/ 1 = 1 < 2^n ー②
(0 < ) log2 5 / log35 = (log2 5/log22) / (log25 /log2 3)
= log2 3 < log2 4 = 2 < 2^n ー③
(0<) (log2 5)^n / (log35)^n = (log2 5 / log35)^n < 2^n ー④
②、③、④と(1)の結果より、
{1 + log2 5 + (log2 5)^n}/ {1 + log35 + (log35)^n} < 2^n ー⑤
①、⑤より、
1 < {1 + log2 5 + (log2 5)^n}/ {1 + log35 + (log35)^n} < 2^n
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