問題
解答
（１）
C : y=f(x)=x^2ーkx とする
f ’(x)=2xーk
C上の点Oにおける接線ℓ1 の傾きが-(1/3)だから
f ’(0）＝-(1/3)
-k=-(1/3)
∴ k=1/3
（２）
(1)より、
f(x)=x^2ー(1/3)x
f ’(x)=2xー(1/3)
ここで、直線ℓ: y=(tanθ)x を y=f(x)と連立する
x^2ー(1/3)x=(tanθ)x
x^2ー(1/3 +tanθ)x=0
x{xー(1/3)ーtanθ}=0
Pのx座標は0でないから、Pのx座標は 1/3+tanθ
点Pにおける接線ℓ2 の傾きがtan2θだから
f ’((1/3)+tanθ）=tan2θ
2((1/3)+tanθ}ー1/3=tan2θ
1/3+2tanθ＝(2tanθ)/{1ー(tanθ)^2}
{1ー (tanθ)^2}{ (1/3) + 2tanθ}=2tanθ
1/3 + 2tanθ ー(1/3)(tanθ)^2ー２(tanθ)^3=2tanθ
2(tanθ)^3 + (tanθ)^2 ー(1/3)=0
6(tanθ)^3 + (tanθ)^2 ー1=0
(2tanθー 1){3(tanθ)^2 + 2tanθ + 1}=0
ここで、
0 < θ < (π/4) より、
0 < tanθ < 1 ー①
3(tanθ)^2 + 2tanθ + 1=0 は、
判別式D/4=1^2 ー 3*1< 0より、実数解を持たない
2tanθ ー1=0
∴ tanθ＝1/2 （これは①を満たす）
（３）
x軸の正の向きと、直線ℓ1、直線ℓ2のなす角をそれぞれβ、γとおくと、
tanβ=ー(1/3)、tanγ=tan2θ
(2)より、tanθ=1/2
よって、
tanγ = tan2θ
= 2*(1/2) /{1ー (1/2)^2}=4/3
下図より求める tanαは、
tanα = tan(βーγ)
= {ー(1/3)ー(4/3)} / {1 + (ー1/3)(4/3)}
=(ー3/5) / (5/9)
=ー3
