2019年筑波大・前期・数学第一問

問題

解答

(1)

C : y=f(x)=x^2ーkx  とする

f ’(x)=2xーk

C上の点Oにおける接線ℓ1 の傾きが-(1/3)だから

f ’(0)=-(1/3)

-k=-(1/3)

∴  k=1/3

(2)

(1)より、

 f(x)=x^2ー(1/3)x

f ’(x)=2xー(1/3)

 

ここで、直線ℓ: y=(tanθ)x を y=f(x)と連立する

 

x^2ー(1/3)x=(tanθ)x

x^2ー(1/3 +tanθ)x=0

x{xー(1/3)ーtanθ}=0

 

Pのx座標は0でないから、Pのx座標は 1/3+tanθ

 

点Pにおける接線ℓ2 の傾きがtan2θだから

f ’((1/3)+tanθ)=tan2θ

2((1/3)+tanθ}ー1/3=tan2θ

1/3+2tanθ=(2tanθ)/{1ー(tanθ)^2}

{1ー (tanθ)^2}{ (1/3) + 2tanθ}=2tanθ

1/3 + 2tanθ ー(1/3)(tanθ)^2ー2(tanθ)^3=2tanθ

2(tanθ)^3 + (tanθ)^2 ー(1/3)=0

6(tanθ)^3 + (tanθ)^2 ー1=0

(2tanθー 1){3(tanθ)^2 + 2tanθ + 1}=0

 

ここで、

0 < θ < (π/4)  より、

0 < tanθ < 1  ー①

 

3(tanθ)^2 + 2tanθ + 1=0 は、

判別式D/4=1^2 ー 3*1< 0より、実数解を持たない

 

2tanθ ー1=0   

∴ tanθ=1/2  (これは①を満たす)

(3)

x軸の正の向きと、直線ℓ1、直線ℓ2のなす角をそれぞれβ、γとおくと、

tanβ=ー(1/3)、tanγ=tan2θ

(2)より、tanθ=1/2

よって、

tanγ = tan2θ

   = 2*(1/2) /{1ー (1/2)^2}=4/3

下図より求める tanαは、

tanα = tan(βーγ) 

         = {ー(1/3)ー(4/3)} / {1 + (ー1/3)(4/3)}

         =(ー3/5) / (5/9)

         =ー3

三角関数の基本問題です。